Question

已知焦点在x轴上的椭圆F₁，F₂是它的两个焦点，若椭圆上存在点P，使，则b的取值范围是     ．

Answer

先证：若B为椭圆短轴端点，则∠F1PF2≤∠F1BF2．记∠F1PF2=θ，
|PF1|=r1，|PF2|=r2，cosθ=推出cosθ≥=cos∠F1BF2，即∠F1PF2≤∠F1BF2．
利用结论，题中椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=90，当且仅当∠F1BF2≥90，推出b∈（0，]．
【解析】
先证一个结论：若B为椭圆短轴端点，则∠F1PF2≤∠F1BF2．记∠F1PF2=θ，
|PF1|=r1，|PF2|=r2，cosθ===
又r1r2≤（）2=a2，∴cosθ≥=cos∠F1BF2，当且仅当r1=r2时等号成立，
即∠F1PF2≤∠F1BF2．题中椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=90，当且仅当∠F1BF2≥90，即
cos∠F1BO≤等价于b≤a=，∴b∈（0，]．
故答案为：（0，]．