Question

如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，沿矩形的对角线BD把△ABD折起，使A移到A₁点，且A₁在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
求证：（1）BC⊥A₁D；
（2）平面A₁BC⊥平面A₁BD．

Answer

（1）通过证明BC⊥A1O，BC⊥CO，证明BC⊥平面A1CD，从而证明BC⊥A1D，即由线线垂直推出线面垂直，再由线面垂直证出线线垂直．
（2）由（1）知BC⊥A1D，因为ABCD为矩形，所以A1B⊥A1D，可证A1D⊥平面A1BC，从而达到目的，关键在一个平面内找到一条线和另一个平面垂直．
证明：（1）由于A1在平面BCD上的射影O在CD上，
则A1O⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，
则BC⊥A1O，
又BC⊥CO，A1O∩CO=O，
则BC⊥平面A1CD，又A1D⊂平面A1CD，
故BC⊥A1D．
（2）因为ABCD为矩形，所以A1B⊥A1D，
由（1）知BC⊥A1D，A1B∩BC=B，则A1D⊥平面A1BC，又A1D⊂平面A1BD．
从而有平面A1BC⊥平面A1BD．