Question

如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中点．
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥BD．

Answer

（1）欲证DF∥平面ABC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证DF与平面ABC内一直线平行，而DF∥CG，CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，满足定理条件；
（2）欲证AF⊥BD，可先证AF⊥平面BDF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AF与平面BDF内两相交直线垂直，而AF⊥BE，DF⊥AF，满足定理条件．
证明：（1）取AB的中点G，连接FG，可得FG∥AE，FG=AE，
又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，
∴CD∥AE，CD=AE，
∴FG∥CD，FG=CD，
∵FG⊥平面ABC，
∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG，
CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，
∴DF∥平面ABC．

（2）Rt△ABE中，AE=2a，AB=2a，
F为BE中点，∴AF⊥BE，
∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，
∴DF⊥AB，
又DF⊥FG，
∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF，
∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD．