Question

如图所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB₁上一点．
（1）求证：B₁D₁∥面A₁BD；
（2）求证：MD⊥AC；
（3）试确定点M的位置，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．

Answer

（1）在平面A1BD内找到和B1D1平行的直线BD即可．利用线线平行来推线面平行．
（2）先利用条件BB1⊥AC和BD⊥AC证得AC⊥面BB1D，再证明MD⊥AC即可．
（3）因为棱BB1上最特殊的点是中点，所以先看中点．取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，⇒BN⊥DC⇒面ABCD⊥面DCC1D1，
⇒BN⊥面DCC1D1．而又可证得BN∥OM，所以可得OM⊥平面CC1D1D⇒平面DMC1⊥平面CC1D1D．
【解析】
（1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1=DD1，所以BB1D1D是平行四边形，
所以B1D1∥BD．
而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，
所以B1D1∥平面A1BD．
（2）证明：因为BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以BB1⊥AC，
又因为BD⊥AC，且BD∩BB1=B，
所以AC⊥面BB1D，
而MD⊂面BB1D，所以MD⊥AC．
（3）当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D
取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM．
因为N是DC中点，BD=BC，所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1，
所以BN⊥面DCC1D1．
又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，因为OM⊂面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．