Question

已知f（x）=Asin（ωπx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…f（2011）的值是（ ）

A．
B．
C．1
D．0

Answer

求出函数的导函数，利用导函数的图象求出A、T、以及ϕ，确定函数的解析式，然后推出f（0），f（1），f（2），f（3），…，f（2011）是以4为周期的周期数列，且f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0得到正确选项．
【解析】
函数f（x）=Asin（ωπx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π），其导函数f′（x）=Aωπcos（ωπx+ϕ），
所以Aωπ=2  T=4，所以ωπ=ω=   A=  因为导数图象过（，0），所以0=2cos（+ϕ），所以ϕ=，
f（x）=sin（πx+），f（0）=，f（1）=，f（2）=，f（3）=，f（4）=，…
所以f（0），f（1），f（2），f（3），…，f（2011）是以4为周期的周期数列，且f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，
所以f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=0
故选D