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在平面直角坐标系中,已知点,点B在直线上运动,过点B与l垂直的直线和AB的中垂线...

在平面直角坐标系中,已知点manfen5.com 满分网,点B在直线manfen5.com 满分网上运动,过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于点M.
(Ⅰ)求动点M的轨迹E的方程;
(Ⅱ)设点P是轨迹E上的动点,点R,N在y轴上,圆C:(x-1)2+y2=1内切于△PRN,求△PRN的面积的最小值.
(1)设点M的坐标为(x,y),由题设知,|MB|=|MA|.根据抛物线的定义可知点M的轨迹为抛物线,根据焦点和准线方程,则可得抛物线方程. (2)设P(x,y),R(0,b),N(0,c),且b>c,则直线PR的方程可得,由题设知,圆心(1,0)到直线PR的距离为1,把x,y代入化简整理可得(x-2)b2+2yb-x=0,同理可得(x-2)c2+2yc-x=0,进而可知b,c为方程(x-2)x2+2yx-x=0的两根,根据求根公式,可求得b-c,进而可得△PRN的面积的表达式,根据均值不等式可知当当x=4时面积最小,进而求得点P的坐标. 【解析】 (Ⅰ)设点M的坐标为(x,y),由题设知,|MB|=|MA|. 所以动点M的轨迹E是以为焦点, 为准线的抛物线,其方程为y2=2x; (Ⅱ)设P(x,y),R(0,b),N(0,c),且b>c, 故直线PR的方程为(y-b)x-xy+xb=0. 由题设知,圆心(1,0)到直线PR的距离为1, 即. 注意到x>2,化简上式,得(x-2)b2+2yb-x=0, 同理可得(x-2)c2+2yc-x=0. 由上可知,b,c为方程(x-2)x2+2yx-x=0的两根, 根据求根公式,可得. 故△PRN的面积为 , 等号当且仅当x=4时成立.此时点P的坐标为或. 综上所述,当点P的坐标为或时,△PRN的面积取最小值8.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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