Question

设函数，其中常数a＞1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）先求出导函数，利用导数大于0对应的为原函数的增区间，导数小于0对应的为原函数的减区间，即可求f（x）的单调性；
（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值，所以须满足最小值大于0，解不等式组即可求a的取值范围．
【解析】
（1）f′（x）=x2-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a），（2分）
由已知a＞1，∴2a＞2，∴令f′（x）＞0，解得x＞2a或x＜2，
令f′（x）＜0，解得2＜x＜2a，（5分）
故当a＞1时，f（x）在区间（-∞，2）和（2a，+∞）上是增函数，在区间（2，2a）上是减函数．（6分）
（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值．（7分）
=，f（0）=24a．（9分）
则即解得1＜a＜6，
故a的取值范围是（1，6）．（14分）