Question

如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．AD垂直于PB于D，AE垂直于PC于E．，AB=BC=1．
（1）求证：PC⊥平面ADE；
（2）求AB与平面ADE所成的角；

Answer

（1）欲证PC⊥平面ADE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PC与平面ADE内两相交直线垂直，而PC⊥AD，PC⊥AE，AE∩AD=A，满足定理条件；
（2）在平面PBC上，过点B作BF平行于PC交ED延长线于点F，连接AF，根据线面所成角的定义知∠BAF为直线AB和平面ADE所成的角，在RT△BFA中求出此角即可．
【解析】
（1）证明：因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC，（2分）
又AB⊥BC，PA∩AB=A
所以BC⊥平面PAB，又AD⊂平面PAB，
则BC⊥AD，（4分）
又AD⊥PB，PB∩BC=B，
所以AD⊥平面PBC，（5分）
得PC⊥AD（6分）
又PC⊥AE，AE∩AD=A，所以PC⊥平面ADE（7分）

（2）在平面PBC上，过点B作BF平行于PC交ED延长线于点F，
连接AF，因为PC⊥平面ADE，所以BF⊥平面ADE，
所以∠BAF为直线AB和平面ADE所成的角（10分）
在三角形PBC中，，则，
由△PED与△BFD相似可得（12分）
在RT△BFA中，，（13分）
所以直线AB与平面ADE所成的角为30°．（14分）