Question

如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB=BC=AC=4，PA=PC=2．求证：
（1）PA⊥平面EBO；
（2）FG∥平面EBO．

Answer

（1）先证明BO⊥面PAC，可得BO⊥PA．由OE∥PC，PC⊥PA 可得OE⊥PA，从而证得PA⊥平面EBO．
（2）由线段长度间的关系可得 ，由 Q是△PAB的重心，可得，故有FG∥QO，进而证得FG∥平面EBO．
（1）证明：由题意可知，△PAC为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形． 因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC，
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BO⊂平面ABC，所以，BO⊥面PAC．
因为PA⊂平面PAC，故 BO⊥PA．在等腰三角形PAC内，O，E为所在边的中点，故 OE∥PC，∴OE⊥PA，
又BO∩OE=O，所以，PA⊥平面EBO．
（2）证明：连AF交BE于Q，连QO．因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，
所以． 又 Q是△PAB的重心，
于是，，所以，FG∥QO．
因为FG⊄平面EBO，QO⊂平面EBO，所以，FG∥平面EBO．