Question

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为A₁、A₂，上、下顶点分别为B₁、B₂．设直线A₁B₁的倾斜角的正弦值为，圆C与以线段OA₂为直径的圆关于直线A₁B₁对称．

（1）求椭圆E的离心率；
（2）判断直线A₁B₁与圆C的位置关系，并说明理由；
（3）若圆C的面积为π，求圆C的方程．

Answer

（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为，所以，由此能求出椭圆E的离心率．
（2）由，设a=4k（k＞0），，则，于是A1B1的方程为：，故OA2的中点（2k，0）到A1B1的距离d=，由此能够证明直线A1B1与圆C相切．
（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而，设OA2的中点（1，0）关于直线A1B1：的对称点为（m，n），则，由此能求出圆C的方程．
【解析】
（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），
因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为，所以，
于是a2=8b2，即a2=8（a2-c2），所以椭圆E的离心率．（4分）
（2）由可设a=4k（k＞0），，则，
于是A1B1的方程为：，
故OA2的中点（2k，0）到A1B1的距离d=，（6分）
又以OA2为直径的圆的半径r=2k，即有d=r，
所以直线A1B1与圆C相切．（8分）
（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而，（10分）
设OA2的中点（1，0）关于直线A1B1：的对称点为（m，n），
则（12分）
解得．所以，圆C的方程为（14分）