Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC的中点，E是线段D₁O上一点，且D₁E=λEO．
（1）若λ=1，求异面直线DE与CD₁所成角的余弦值；
（2）若平面CDE⊥平面CD₁O，求λ的值．

Answer

本题背景是一个正方体，故可以建立空间坐标系解题，以以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，写出各点的坐标，
（1）求出异面直线DE与CD1的方向向量用数量积公式两线夹角的余弦值（或补角的余弦值）
（2）求出两个平面的法向量，由于两个平面垂直，故它们的法向量的内积为0，由此方程求参数λ的值即可．
解（1）不妨设正方体的棱长为1，以
为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
则A（1，0，0），，C（0，1，0），D1（0，0，1），
E，
于是，．
由cos==．
所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为．（5分）
（2）设平面CD1O的向量为m=（x1，y1，z1），由m•=0，m•=0
得取x1=1，得y1=z1=1，即m=（1，1，1）．（7分）
由D1E=λEO，则E，=．
又设平面CDE的法向量为n=（x2，y2，z2），由n•=0，n•=0．
得取x2=2，得z2=-λ，即n=（-2，0，λ）．
因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m•n=0，得λ=2．（10分）