Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值？
（Ⅲ）当a=2时，设函数，若在区间[1，e]上至少存在一个x，使得h（x）＞f（x）成立，试求实数p的取值范围．

Answer

（I）由题意及函数解析式需用导函数来求其单调区间；
（II）由导函数的几何意义可以先求出a的值，此时函数f（x）就具体了，然后代入g（x）的解析式，再利用一元3次函数存在极值的充要条件建立m的不等式即可；
（III）由题意构建新函数F（x），这样问题转化为使函数F（x）在[1，e]上至少有一解的判断．
【解析】
（Ι）当a=1时，函数f（x）=alnx-ax-3=lnx-x-3；导函数为；
当0＜x＜1时，函数f（x）单调递增，当时x＞1时，函数f（x）单调递减；
故减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）；
（Ⅱ）∵g（x）=x2-2x，
∴g‘（x）=3x2+（4+m）x-2，
∵g（x）在区间（t，3）上总存在极值，∴
解得．
所以当m∈时，对于任意的t∈[1，2]函数在区间（t，3）上总存在极值．
（Ⅲ）∴
①当p≤0时，由x∈[1，e]得px-≤0，--2lnx＜0．
所以，在[1，e]上不存在x，使得h（x）＞f（x）成立；
②当p＞0时，F'（x）=，∵x∈[1，e]，
∴2e-2x≥0，px2+p＞0，F'（x）＞0在[1，e]上恒成立，故F（x）在[1，e]上单调递增．
∴．
故只要，解得．所以p的取值范围是．