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已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且准线方程为直线l过M(1,0)与抛物线交...

已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且准线方程为manfen5.com 满分网直线l过M(1,0)与抛物线交于A,B两点,点P在y轴的右侧且满足manfen5.com 满分网(O为坐标原点).
(Ⅰ)求抛物线的方程及动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)记动点P的轨迹为C,若曲线C的切线斜率为λ,满足manfen5.com 满分网,点A到y轴的距离为a,求a的取值范围.
(Ⅰ)待定系数法求出抛物线方程,点斜式设出直线l的方程并与抛物线方程联立方程组,得到直线l与物线交于A,B两点的坐标间的关系,由得到点P的坐标与直线斜率k的关系,消去k得到动点P的轨迹方程. (Ⅱ)先求出曲线C的切线斜率λ的范围,又,用λ表示a,由斜率λ的范围得出a的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)由题意知抛物线的方程为 ∴p=1,抛物线的方程为x2=2y.(2分) 直线l的斜率不存在时, 直线l与抛物线交于一点,不符合题意.(3分) 于是设直线l的方程为y=k(x-1). 联立 设两交点为A(x1,y1),B(x2,y2). 则△=4k2-8k>0⇒k>2或k<0,(4分) ∴x1+x2=2k,x1x2=2k.(5分) 设 ∵, ∴ 消去k得y=x2-x.(7分) 又∵P点在y轴的右侧∴x>0, 又∵x=k,k>2或k<0,∴x>2.(8分) ∴动点P的轨迹方程为y=x2-x,(x>0); (Ⅱ)∵曲线C的方程为y=x2-x,(x>2) ∴切线斜率λ=y=2x-1(x>2).(9分) ∴λ>3.(10分) ∵, 又 ∴ ∴λx12-2λx1+λ-1=0. 解得(12分) ∴(13分) ∴a的取值范围是:(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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