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已知函数(a、b∈R), (Ⅰ)若f(x)在R上存在最大值与最小值,且其最大值与...

已知函数manfen5.com 满分网(a、b∈R),
(Ⅰ)若f(x)在R上存在最大值与最小值,且其最大值与最小值的和为2680,试求a和b的值;
(Ⅱ)若f(x)为奇函数:
(1)是否存在实数b,使得f(x)在manfen5.com 满分网为增函数,manfen5.com 满分网为减函数,若存在,求出b的值,若不存在,请说明理由;
(2)如果当x≥0时,都有f(x)≤0恒成立,试求b的取值范围.
(I)第一问根据函数解析式的特征可以判断b=0,再把函数变形后利用三角函数有界性来求解出函数的最值. (II)第二问利用f(x)为奇函数求出a=0(1)中因为x=是函数的极值即得出b=0(2)先判断函数的单调性再利用其求出函数最值. 【解析】 (Ⅰ)∵f(x)在x∈R上存在最大值和最小值, ∴b=0(否则f(x)值域为R), ∴⇒3y2-4ay+a2-1≤0, 又△=4a2+12>0,由题意有, ∴a=2010; (Ⅱ)若f(x)为奇函数,∵x∈R,∴f(0)=0⇒a=0, ∴,, (1)若∃b∈R,使f(x)在(0,)上递增,在(,π)上递减, 则, ∴b=0 并且当时,f'(x)>0,f(x)递增, 当时f'(x)<0,f(x)递减, ∴当b=0时满足题意. (2)① △=4[(1-2b)2+b(1-4b)]=4(1-3b) 若△≤0,即,则f'(x)≤0对∀x≥0恒成立,这时f(x)在[0,+∞)上递减, ∴f(x)≤f(0)=0, ②若b<0,则当x≥0时,-bx∈[0,+∞),,不可能恒小于等于0, ③若b=0,则不合题意, ④若, 则,f'(π)=-b-1<0, ∴∃x∈(0,π),使f'(x)=0,x∈(0,x)时,f'(x)>0, 这时f(x)递增,f(x)>f(0)=0,不合题意, 综上.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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