Question

已知f（x）=kx³-x²+x-5在R上单调递增，记△ABC的三内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若a²+c²≥b²+ac时，不等式恒成立．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求角cosB的取值范围；
（3）求实数m的取值范围．

Answer

（1）对函数f（x）进行求导，利用函数的单调性判断出f′（x）＞0恒成立进而判断出导函数的开口向上判断出k＞0，判别式小于0求得k的范围．
（2）利用余弦定理和题设的不等式求得cosB的范围，进而求得B的范围．
（3）利用函数的单调性和题设的不等式建立不等式求得m的范围．
【解析】
（1）由f（x）=kx3-x2+x-5知f′（x）=3kx2-2x+1，
∵f（x）在R上单调递增，∴f′（x）＞0恒成立，
∴3k＞0且△＜0，即k＞0且4-12k＜0，∴，
当△=0，即时，f′（x）=3kx2-2x+1=（x-1）2，
∴x＜1时f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＞0，
即当时，能使f（x）在R上单调递增，∴．
（2）∵a2+c2≥b2+ac，由余弦定理：，∴，
（3）∵f（x）在R上单调递增，且，
所以
==，
故，即，，即，即0≤m＜16．