Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求数{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数{b_n}的前n项和T_n，令b_n=a_n²，其中n∈N^*，试比较与的大小，并加以证明．

Answer

（Ⅰ）由an+12=2an2+anan+1，移项分角因式得（an+1+an）（2an-an+1）=0，得2an=an+1，得出数列{an}是公比为2的等比数列，由a2+a4=2a3+4得a1=2，
用等比数列的通项公式得出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=an2=22n=4n，得数列{bn}是首项为4，公比是4的等比数列，由等比数列的前n项和求出Tn，进一步表示出与，两者作差，不能判号的那部分用数学归纳法来证：第一步，n=1时，不等式成立，第二步，假设n=k时，结论成立，下面证明n=k+1时也成立．
【解析】
（Ⅰ）因为an+12=2an2+anan+1，即（an+1+an）（2an-an+1）=0
又an＞0，所以有2an-an+1=0，所以2an=an+1
所以数列{an}是公比为2的等比数列（2分）
由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4，解得a1=2
故数列{an}的通项公式为an=2n（n∈N*）（4分）
（Ⅱ）因bn=an2=22n=4n，所以b1=4，=4
即数列{bn}是首项为4，公比是4的等比数列
所以Tn=（4n-1）（6分）
则==1+
又
=
猜想：7•4n-1＞3n+1（8分）
①当n=1时，7•4=7＞3×1+1=4，上面不等式显然成立；
②假设当n=k时，不等式7•4k-1＞3k+1成立（9分）
当n=k+1时，
7×4k=4×7×4k-1＞4（3k+1）=12k+4＞3k+4=3（k+1）+1
综上①②对任意的n∈N+均有7•4n-1＞3n+1（11分）
又4n-1＞0，4n-1＞0
∴
所以对任意的n∈N+均有（12分）