Question

如图，和两点分别在射线OS、OT上移动，且，O为坐标原点，动点P满足．
（Ⅰ）求m•n的值；
（Ⅱ）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？
（Ⅲ）若直线l过点E（2，0）交（Ⅱ）中曲线C于M、N两点，且，求l的方程．

Answer

（I）由向量数量积的坐标运算即可求得m•n的值；
（II）欲求P点的轨迹C的方程，设点P（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，由题意向量关系将x，y用m，n表示，最后消去m，n得到一个关系式，即得点P的轨迹方程．
（III）设直线l的方程为x=ty+2，将其代入C的方程得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量运算即可求得t值，从而求得l的方程．
【解析】
（Ⅰ）由已知得

=
∴（4分）
（Ⅱ）设P点坐标为（x，y）（x＞0），由
得=（5分）
∴消去m，n可得，又因（8分）
∴P点的轨迹方程为
它表示以坐标原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支（9分）
（Ⅲ）设直线l的方程为x=ty+2，将其代入C的方程得3（ty+2）2-y2=3
即（3t2-1）y2+12ty+9=0
易知（3t2-1）≠0（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）
又△=144t2-36（3t2-1）=36（t2+1）＞0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则
∵l与C的两个交点M，N在y轴的右侧
x1x2=（ty1+2）（ty2+2）
=t2y1y2+2t（y1+y2）+4
=
=
∴3t2-1＜0，即
又由x1+x2＞0同理可得（11分）
由得（2-x1，-y1）=3（2-x2，y2）
∴
由得
由得
消去y2得
解之得：，满足（13分）
故所求直线l存在，其方程为：或（14分）