Question

已知函数f（x）=+alnx，g（x）=（a+1）x（a≠-1），H（x）=f（x）-g（x）．
（1）若函数f（x）、g（x）在区间[1，2]上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；
（2）α、β是函数H（x）的两个极值点，α＜β，β∈（1，e]（e=2.71828…）．求证：对任意的x₁、x₂∈[α，β]，不等式|H（x₁）-H（x₂）|＜1成立．

Answer

（1），，（由f（x），g（x）在区间[1，2]上都为单调函数，且它们的单调性相同，知，由（a+1）（a+x2）≥0，a≤-x2，（-x2）min=-4，能导出实数a的取值范围．
（2）由=，知x=1或x=a，由x2-（a+1）x+a=0有两个不相等的正根α，β，且α＜β，β∈（1，e]，知α=1，β=a∈（1，e]，由此能得到不等式|H（x1）-H（x2）|＜1对任意的x1，x2∈[α，β]成立．
【解析】
（1），
，
∵f（x），g（x）在区间[1，2]上都为单调函数，且它们的单调性相同，
∴，
∵x∈[1，2]，∴（a+1）（a+x2）≥0，
-x2≤-1，∴a≤-x2或a＞-1（a≠-1），又（-x2）min=-4，
∴a≤-4或a＞-1．
（2）∵=⇒x=1或x=a，
又∵x2-（a+1）x+a=0有两个不相等的正根α，β，且α＜β，β∈（1，e]，
∴α=1，β=a∈（1，e]，∴当x∈[α，β]时，H′（x）≤0，
∴H（x）在[α，β]上单调单调递减，
∴H（x）min=H（1），H（x）max=H（β），
则对任意的x1，x2∈[α，β]，
|H（x1）-H（x2）|
=．
设f（a）=，则t′（a）=a-1-lna，
∵当a∈（1，e]时，，∴t′（a）在（1，e]单调递增，
∴t′（a）＞t′（1）=0，∴t（a）也在（1，e]单调递增，
∴，
∴不等式|H（x1）-H（x2）|＜1对任意的x1，x2∈[α，β]成立．