Question

已知函数f（x）=（x²-x-）e^ax（a≠0）
（1）求曲线y=f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程
（2）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间
（3）当a＞0时，若不等式f（x）+≥0，对x∈[-，+∝）恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）先求出函数f（x）的导函数f'（x），然后求出f（0），f'（0）的值，得到了切点坐标和切线的斜率，利用点斜式方程即可求出切线方程；
（2）先求出f′（x）=0的值，讨论a与-2的大小关系，解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可求出函数的单调区间；
（3）讨论满足f′（x）=0的点将区间[-，+∞）分成几段，然后利用列表法求出f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，从而求出最小值，使[f（x）+]min≥0恒成立，求出a的取值范围即可．
【解析】
（1）f'（x）=eax（ax+2）（x-1），f（0）=-，f'（0）=-2
所以切线方程为2x+y+=0
（2）令f′（x）=0则x=1或
当a＜-2时，f（x）在（-∞，-）和（1，+∞）上单调递减，在（-，1）上单调递增；
当a=-2时，f′（x）≤0，f（x）在R上减函数；
当-2＜a＜0时，f（x）在（-∞，1）和（-，+∞）上单调递减，在（1，-）上单调递增；
（3）当a＞0时，

∵f（-）＞0，f（1）＜0∴f（1）=-ea为最小值
∴-ea+≥0对x∈[-，+∞）恒成立∴a∈（0，ln3]