Question

已知f（x）=lnx，（m＜0），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x），求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，总有．

Answer

（Ⅰ）求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数即可求出直线l的斜率，然后把x=1代入f（x）中求出切点的纵坐标，进而得到切点坐标，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，把切线l的方程与g（x）解析式联立，消去y后，得到关于x的一元二次方程，由直线l与g（x）图象相切得到根的判别式等于0，列出关于m的方程，又根据m小于0，求出方程的解即可得到满足题意的m的值；
（Ⅱ）求出g（x）的导函数，且求出f（x+1）的解析式，一起代入h（x）=f（x+1）-g'（x），确定出h（x）的解析式，求出h（x）的导函数，令导函数大于0求出x的范围即为函数的增区间，令导函数小于0求出x的范围即为函数的减区间，根据函数的增减性得到h（x）的最大值即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当x大于-1时，h（x）小于等于2，把h（x）的解析式代入化简可得：当x大于-1时，ln（1+x）小于等于x，且x=0取等号，因为大于0，代入化简得，然后分别令n=1，2，…n，列举出各项得到n个不等式，左右相加后，右边利用等比数列的前n项和公式化简后，得证．
【解析】
（Ⅰ）依题意知直线l的斜率，
∵f（1）=0，故直线l与函数f（x）的图象的切点坐标是（1，0），
∴直线l的方程为y=x-1；
又∵直线l与g（x）的图象也相切，
∴由得x2+2（m-1）x+9=0，
令△=（m-1）2-9=0，∵m＜0
∴解得m=-2；

（II）∵g'（x）=x+m=x-2，
∴h（x）=f（x+1）-g'（x）=ln（x+1）-x+2，
∴，
令h'（x）＞0，解得-1＜x＜0，令h'（x）＜0，解得x＜-1（舍去）或x＞0，
∴h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∴当x=0时，h（x）取得最大值h（0）=2；

（Ⅲ）∵由（II）知：当x＞-1时，h（x）≤2，即ln（x+1）-x+2≤2，
∴当x＞-1时，ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时等号成立，
∵，故，
∴．