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设函数f(x)=2ln(x-1)-(x-1)2. (1)求函数f(x)的单调递增...

设函数f(x)=2ln(x-1)-(x-1)2
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若关于x的方程f(x)+x2-3x-a=0在区间[2,4]内恰有两个相异的实根,求实数a的取值范围.
(1)确定出函数的定义域是解决本题的关键,利用导数作为工具,求出该函数的单调递增区间即为f'(x)>0的x的取值区间; (2)方法一:利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键.构造函数,研究构造函数的性质尤其是单调性,列出该方程有两个相异的实根的不等式组,求出实数a的取值范围. 方法二:先分离变量再构造函数,利用函数的导数为工具研究构造函数的单调性,根据题意列出关于实数a的不等式组进行求解. 【解析】 (1)函数f(x)的定义域为(1,+∞), ∵, ∵x>1,则使f'(x)>0的x的取值范围为(1,2), 故函数f(x)的单调递增区间为(1,2). (2)方法1:∵f(x)=2ln(x-1)-(x-1)2, ∴f(x)+x2-3x-a=0⇔x+a+1-2ln(x-1)=0. 令g(x)=x+a+1-2ln(x-1), ∵g'(x)=1-,且x>1, 由g'(x)>0得x>3,g'(x)<0得1<x<3. ∴g(x)在区间[2,3]内单调递减,在区间[3,4]内单调递增, 故f(x)+x2-3x-a=0在区间[2,4]内恰有两个相异实根⇔ 即解得:2ln3-5≤a<2ln2-4. 综上所述,a的取值范围是[2ln3-5,2ln2-4). 方法2:∵f(x)=2ln(x-1)-(x-1)2, ∴f(x)+x2-3x-a=0⇔x+a+1-2ln(x-1)=0. 即a=2ln(x-1)-x-1,令h(x)=2ln(x-1)-x-1, ∵h'(x)=,且x>1, 由h'(x)>0得1<x<3,h'(x)<0得x>3. ∴h(x)在区间[2,3]内单调递增,在区间[3,4]内单调递减. ∵h(2)=-3,h(3)=2ln2-4,h(4)=2ln3-5,又h(2)<h(4), 故f(x)+x2-3x-a=0在区间[2,4]内恰有两个相异实根⇔h(4)≤a<h(3). 即2ln3-5≤a<2ln2-4. 综上所述,a的取值范围是[2ln3-5,2ln2-4).
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