Question

已知函数f（x）=x²+m，其中m∈R，定义数列{a_n}如下：a₁=0，a_n+1=f（a_n），n∈N*．
（1）当m=1时，求a₂，a₃，a₄的值；
（2）是否存在实数m，使a₂，a₃，a₄成等比数列？若存在，请求出实数m的值，并求出等比数列的公比；若不存在，请说明理由．
（3）设m=-1，f^-1（x）为f（x）在x∈[0，+∞）的反函数，数列{b_n}满足：b₁=1，b_n+1=f^-1（b_n²）（n∈N*），记S_n=b₁²+b₂²+…+b_n²，求使S_n＞2010成立的最小正整数n的值．

Answer

（1）根据数列和函数的关系直接代入即可求出a2，a3，a4的值．
（2）此题的关键是运用等比数列的性质a32=a2•a4，求出m的值，再根据相邻两项的比值求出等比数列的公比．
（3）首先求出反函数，再据数列和函数的关系推出数列{bn2}是等差数列，就可以求出Sn，最后求出满足Sn＞2010的最小正整数n的值．
【解析】
（1）当m=1时，则f（x）=x2+1
∵an+1=f（an），a1=0
∴a2=f（a1）=f（0）=1，a3=f（a2）=2，a4=f（a3）=5
∴a2=1，a3=2，a4=5

（2）∵an+1=f（an），f（x）=x2+m
∴a2=f（a1）=f（0）=m，a3=f（a2）=m2+m，a4=f（a3）=（m2+m）2+m=m4+2m3+m2+m
∵a2，a3，a4成等比数列
∴（m2+m）2=m（m4+2m3+m2+m）
即m4+2m3+m2=m5+2m4+m3+m2
∴m5+m4-m3=m3（m2+m-1）=0
又∵a2=m≠0
∴m2+m-1=0
∴或
当时，数列的公比
当，数列的公比

（3）∵f（x）=x2-1，x∈[0，+∞）
∴（x≥-1）
又∵
∴bn+12=bn2+1
∵b1=1
∴b12=1，
∴bn2是以1为首项，1为公差的等差数列
∴bn2=n
∵Sn=b12+b22+…+bn2
∴
∵Sn＞2010，即
∴解得n≥63
∴所求的最小正整数n的值是63．