Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，ÐBAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2a，M，N分别为PC、PB的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：PB⊥DM；
（3）求四棱锥P-ADMN的体积．

Answer

（1）欲证MN∥平面PAD，根据线面平行的判定定理知，只须证明MN∥AD，结合中点条件即可证明得；
（2）欲证PB⊥DM，根据线面垂直的性质定理，只须证明PB⊥平面ADMN，也就是要证明AN⊥PB及AD⊥PA，而这此垂直关系的证明较为明显，从而即可证得结论；
（3）由（1）和（2）可得四边形ADMN为直角梯形，且∠DAN=90°，利用梯形的面积公式即可求得四棱锥P-ADMN的底面面积，从而求得其体积．
证明：（1）因为M、N分别为PC、PB的中点，
所以MN∥BC，且．（1分）
又因为AD∥BC，所以MN∥AD．（2分）
又AD⊥平面PAD，MNË平面PAD，所以MN∥平面PAD．（4分）
（2）因为AN为等腰DABP底边PB上的中线，所以AN⊥PB．（5分）
因为PA⊥平面ABCD，ADÌ平面ABCD，所以AD⊥PA．
又因为AD⊥AB，且AB∩AP=A，所以AD⊥平面PAB．
又PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB．（6分）
因为AN⊥PB，AD⊥PB，且ANÇAD=A，所以PB⊥平面ADMN．（7分）
又DM⊂平面ADMN，所以PB⊥DM．（8分）
【解析】
（3）由（1）和（2）可得四边形ADMN为直角梯形，且∠DAN=90°，
AD=2a，，，所以．（9分）
由（2）PB⊥平面ADMN，得PN为四棱锥P-ADMN的高，且，（10分）
所以．（12分）