Question

设函数f（x）=x²e^x-1+ax³+bx²，已知x=-2和x=1为f（x）的极值点．
（1）求a和b的值；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer

（1）根据极值点处的导函数值为零建立方程组，解之即可；
（2）求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，列出f'（x）、f（x）随x的变化情况，从而求出函数的单调性．
【解析】
显然f（x）的定义域为R．
（1）f'（x）=2xex-1+x2ex-1+3ax2+2bx=xex-1（x+2）+x（3ax+2b），（2分）
由x=-2和x=1为f（x）的极值点，得（4分）
即（5分）
解得（7分）
（2）由（1）得f'（x）=x（x+2）（ex-1-1）．（8分）
令f'（x）=0，得x1=-2，x2=0，x3=1．（10分）f'（x）、f（x）随x的变化情况如下表：（13分）

x （-∞，-2） -2 （-2，0） （0，1） 1 （1，+∞）
f'（x） - + - +
f（x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

从上表可知：函数f（x）在（-2，0）和（1，+∞）上是单调递增的，在（-∞，-2）和（0，1）上是单调递减的．（14分）