Question

设数列a_n的前n项的和为S_n，a₁=1，2S_n=（n+1）a_n+1-1
（1）求数列a_n的通项公式；
（3）求证：数列是等比数列；
（3）设数列b_n是等比数列且b₁=2，a₁，a₃，b₂成等比数列，T_m为b_n的前m项的和，，试比较T_m与P_m的大小，并加以证明．

Answer

（1）当n≥2时，2an=2Sn-2Sn-1=（n+1）an+1-1-（nan-1），即，而当n=1时，2S1=2a2-1，，当n=1时，a1=1符合上式，故．
（2）由，知，，，，由此能够证明是以2为首项为公比的等比数列．
（3）由a3=2，a1，a3，b2成等比数列，知b2=4，，由此入手能够得到当1≤m≤3且n∈N*时，Pm＜Tm，当m≥4且n∈N*时，Pm＞Tm．
【解析】
（1）当n≥2时，2an=2Sn-2Sn-1=（n+1）an+1-1-（nan-1）
即（n+1）an+1=（n+2）an即（2分）
而当n=1时，2S1=2a2-1，
∴，（3分）
∴
而当n=1时，a1=1符合上式，综上（4分）
（2）证明：由（1），
∴
∴（6分）
∴
∴
∴当n≥2时
∴是以2为首项为公比的等比数列..（8分）
（3）由（1）a3=2
∵a1，a3，b2成等比数列∴a1b2=a32
∴b2=4
∴（9分）
而由（2）
∴．（10分）
∴Pm-Tm=m•2m-1-1-（2m+1-2）=（m-4）•2m-1+1
当1≤m≤3且n∈N*时，Pm＜Tm
当m≥4且n∈N*时，Pm＞Tm（12分）