Question

设g（x）=（a-1）x-bf（x），其中f（x）=ln（x+1），a＞0，且g（e-1）=（b-1）（e-1）-a
（e为自然对数的底数）
（1）求a与b的关系；
（2）若g（x）在区间上单调递减，求f（a）的取值范围；
（3）证明：①g（x）≥-x（x＞-1）；
②（n∈N^*且n≥2）

Answer

（1）、将x=e-1代入g（x），将等式两边相等便可求出a与b的关系；
（2）、先求出g（x）的导函数g'（x），令g'（x）≤0，便可求出a的取值范围，根据a的取值范围可以求出f（a）的取值范围；
（3）①令p（x）=g（x）+x，先求出导函数p'（x），根据p'（x）求出函数的单调性，进而求得p（x）在（-1，+∞）的最小值为0，即可证明；
②、根据①的结论可以求出和f′（n-1）f′（n）的函数表达式，将二者的表达式代入其中，逐步化简便可证明敢不等式．
【解析】
（1）g（e-1）=（a-1）（e-1）-bln（e-1+1）
=（a-1）（e-1）-b=（b-1）（e-1）-a
则（a-b）（e-1）+（a-b）=0即（a-b）e=0，
∴a=b（3分）
（2）由（1）g（x）=（a-1）x-aln（x+1），（4分）
g（x）在区间上单调递减，则g'（x）≤0在区间上恒成立（5分）
由g'（x）≤0得即
而，则（a-1）x-1≤0区间上恒成立
令ϕ（x）=（a-1）x-1，
则⇒
而a＞0，则（7分）
由知
故f（a）的取值范围为（8分）
（3）证明：①令p（x）=g（x）+x=ax-aln（x+1）（x＞-1）
则，由p'（x）＞0得x＞0
∴p（x）在（-1，0）上递减，在（0，+∞）上递增，
∴p（x）≥p（0）=0
即g（x）≥-x（x＞-1）（10分）
②由①易知x≥ln（x+1），
∴当n≥2时，ln[（n2-1）+1]≤n2-1，即
∴当n≥2时，
，
（1）
∴n∈N*且n≥2时

=
=
≥
=[（1-）+（）+…+（）]-（）
=（1+--）+（）
=1-≥．