Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁中点．
（1）求证：A₁C∥平面BDE；
（2）求证：平面C₁BD⊥平面BDE．

Answer

（1）连接AC交BD于O，连接EO，根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合E是AA1中点和三角形中位线定理和线面平行的判定定理，我们易得A1C∥平面BDE；
（2）根据正方体的几何特征，我们易判断BD⊥A1C及BC1⊥A1C，结合线面垂直的判定定理，我们可得EO⊥平面BDC1，再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．
证明：（1）连接AC交BD于O，连接EO．（2分）
在△AA1C中，E、O均为中点．
∴EO∥A1C，又EO⊂平面BDE．（4分）
∴A1C∥平面BDE．（6分）
（2）依题意：BD⊥AC，BD⊥AA1
∴BD⊥平面AA1C
∴BD⊥A1C（8分）
同理BC1⊥A1C
∴A1C⊥平面BDC1，又EO∥A1C
∴EO⊥平面BDC1．（12分）
又EO⊂平面BDE
∴平面C1BD⊥平面BDE．（14分）