Question

已知椭圆过点，且离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线y=kx+m与该椭圆有两个交点M，N，当线段MN的中点在直线x=1上时，求k的取值范围．

Answer

（1）根据焦距，求得a和b的关系，利用离心率求得a和b的另一公式联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立消去y，利用判别式大于0，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，根据MN的中点的横坐标求得k和m的关系，进而回代入判别式大于0，求得k的范围，则直线的倾斜角的范围可得．
【解析】
（1）依题意：∴．（1分）
由，得．（2分）
∴b2=a2-c2=1．（3分）
∴所求椭圆方程为．（4分）
（2）设M，N坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）
将y=kx+m代入椭圆方程，整理得：（3k2+1）x2+6kmx+3（m2-1）=0（6分）
∴△=36k2m2-12（3k2+1）（m2-1）＞0（*）（8分）
要令P（1，n）为M，N中点，则x1+x2=2，∴∵k≠0∴（9分）
代入（*）得：（10分）
6k2-1＞0（12分）
∴或．（13分）
∴k的取值范围是．（14分）