Question

已知函数（a为常数）．
（1）求f′（x）；
（2）当a=1时，求f（x）在x∈上的最大值和最小值（e≈2.71828）；
（3）求证：ln＞．（n＞1，且n∈N^*）

Answer

（1）直接利用导数的运算法则即可求出f′（x）；
（2）把a=1代入其导函数，找到其在x∈上的单调性，即可求出其最大值和最小值；
（3）先由（2）知在[1，+∞）上为增函数，再令，利用x＞1，f（x）＞f（1）即可证明结论．
【解析】
（1）因为函数，
所以f'（x）=[]'+（lnx）'=
即．（2分）
（2）当a=1时，，其中，
而时，f'（x）＜0；x∈（1，e]时，f'（x）＞0，
∴x=1是f（x）在上唯一的极小值点，（4分）
∴[f（x）]min=f（1）=0．（5分）
又，（6分）
∴，∴．（7分）
综上，当a=1时，f（x）在上的最大值和最小值分别为e-2和0．（8分）
（3）若a=1时，由（2）知在[1，+∞）上为增函数，（10分）
当n＞1时，令，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，（12分）
即，
∴ln＞．（14分）