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已知函数(a>0,a≠1), (1)若a>1,且关于x的方程f(x)=m有两个不...

已知函数manfen5.com 满分网(a>0,a≠1),
(1)若a>1,且关于x的方程f(x)=m有两个不同的正数解,求实数m的取值范围;
(2)设函数g(x)=f(-x),x∈[-2,+∞),g(x)满足如下性质:若存在最大(小)值,则最大(小)值与a无关.试求a的取值范围.
(1)令ax=t,将“方程f(x)=m有两个不同的正数解”转化为:“关于t的方程有相异的且均大于1的两根”,即关于t的方程t2-mt+2=0有相异的且均大于1的两根,求解. (2)根据题意有g(x)=a|x|+2ax,x∈[-2,+∞),根据指数函数,分①当a>1时,②当0<a<1时,两种情况分析,每种情况下,根据绝对值,再按照x≥0时和-2≤x<0两种情况讨论.最后综合取并集. 【解析】 (1)令ax=t,x>0, ∵a>1,所以t>1, ∴关于x的方程f(x)=m有两个不同的正数解 转化为:方程有相异的且均大于1的两根, ∴ 解得, 故实数m的取值范围是. (2)g(x)=a|x|+2ax,x∈[-2,+∞) ①当a>1时, x≥0时,ax≥1,g(x)=3ax,所以g(x)∈[3,+∞), -2≤x<0时,,g(x)=a-x+2ax,所以 ⅰ当即时,对∀x∈(-2,0),g′(x)>0,所以g(x)在[-2,0)上递增, 所以, 综上:g(x)有最小值为与a有关,不符合(10分) ⅱ当即时,由g′(x)=0得, 且当时,g′(x)<0, 当时,g′(x)>0, 所以g(x)在上递减,在上递增, 所以=, 综上:g(x)有最小值为与a无关,符合要求. ②当0<a<1时, a)x≥0时,0<ax≤1,g(x)=3ax,所以g(x)∈(0,3] b)-2≤x<0时,,g(x)=a-x+2ax, 所以<0,g(x)在[-2,0)上递减, 所以, 综上:a)b)g(x)有最大值为与a有关,不符合 综上所述,实数a的取值范围是.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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