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用a,b,c,d四个不同字母组成一个含n+1(n∈N+)个字母的字符串,要求由a...

用a,b,c,d四个不同字母组成一个含n+1(n∈N+)个字母的字符串,要求由a开始,相邻两个字母不同.例如n=1时,排出的字符串是ab,ac,ad;n=2时排出的字符串是aba,abc,abd,aca,acb,acd,ada,adb,adc,…,如图所示.记这含n+1个字母的所有字符串中,排在最后一个的字母仍是a的字符串的种数为an
(1)试用数学归纳法证明:manfen5.com 满分网
(2)现从a,b,c,d四个字母组成的含n+1(n∈N*,n≥2)个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串,字符串最后一个的字母恰好是a的概率为P,求证:manfen5.com 满分网

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(1)根据题意,易得n=1时,等式成立,进而假设设n=k时,等式正确,再分析n=k+1时的等式与n=k的等式之间的关系,验证n=k+1时等式仍成立;综合可得证明; (2)根据题意,易得易知,分①当n为奇数(n≥3)与②当n为偶数(n≥2)两种情况,分别求得P,综合可得证明. (1)证明: (ⅰ)当n=1时,因为a1=0,,所以等式正确. (ⅱ)假设n=k时,等式正确,即, 那么,n=k+1时,因为, 这说明n=k+1时等式仍正确. 据(ⅰ),(ⅱ)可知,正确; (2)【解析】 易知, ①当n为奇数(n≥3)时,, 因为3n≥27,所以,又,所以; ②当n为偶数(n≥2)时,, 因为3n≥9,所以,又,所以. 综上所述,.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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