Question

已知点D在定线段MN上，且|MN|=3，|DN|=1，一个动圆C过点D且与MN相切，分别过M、N作圆C的另两条切线交于点P．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点M作直线l与所求轨迹交于两个不同的点A、B，若（+λ）•（-λ）=0，且λ∈[2-，2+]，求直线l与直线MN夹角θ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）以直线MN为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系xOy．由题意知点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线（不包含顶点），其轨迹方程为（y≠0）．
（Ⅱ）由题设条件知=±λ，设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x1+2，y1），=（x2+2，y2）设AB：my=x+2，代入得，（3m2-1）y2-12my+9=0．所以．由此入手能够求出直线l与直线MN夹角θ的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）以直线MN为x轴，MN的中点为坐标原点O，
建立直角坐标系xOy． （1分）
∵PM-PN=（PE+EM）-（PF+FN）=MD-ND=2
或PM-PN=（PE+EM）-（PF+FN）=MD-ND=-2 （3分）
∴点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线（不包含顶点），
其轨迹方程为（y≠0） （5分）
（Ⅱ）∵（+λ）•（-λ）=0，且λ∈[2-，2+]，
∴=±λ，（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x1+2，y1），=（x2+2，y2）
设AB：my=x+2，代入得，3（my-2）2-y2-3=0，
即（3m2-1）y2-12my+9=0．
∴（7分）
①当=λ时，y1=λy2，∴（8分）得，，（9分）
∴∈[4，6]，即4≤≤6．
∴解得，m2≥3，故tan2θ≤（10分）
②当=-λ时y1=-λy2，∴（11分）得，，即．
∵λ∈[2-，2+]，∈[2，4]
∴∈[-2，0]，即-2≤≤0．
∴即，故tan2θ≥11． （13分）
由①、②得tan2θ≤或tan2θ≥11．
则夹角θ∈（0，]∪arctan，），（14分）
∵tanθ不存在时，直线l符合条件，故θ=时，符合题意．
∴θ∈（0，]∪[arctan，）． （15分）