Question

已知数列{a_n}满足a₁=a，a₂=2，S_n是数列的前n项和，且（n∈N*）．
（1）求实数a的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）对于数列{b_n}，若存在常数M，使b_n＜M（n∈N*），且，则M叫做数列{b_n}的“上渐近值”．设（n∈N*），T_n为数列{t_n}的前n项和，求数列{T_n}的上渐近值．

Answer

（1）由题设条件可知．由此能够解得a=0．
（2）由题意可知，．所以2Sn-1=（n-1）an-1（n≥2）．由此可知数列{an}的通项公式an=2（n-1）（n∈N*）．
（3）由题设条件知．由此可知Tn=t1+t2+…+tn=．从而求得数列{Tn}的上渐近值是3．
【解析】
（1）∵，∴．（2分）∴a=0．（3分）
（2）由（1）可知，．
∴2Sn-1=（n-1）an-1（n≥2）．
∴2（Sn-Sn-1）=nan-（n-1）an-1，2an=nan-（n-1）an-1，（n-2）an=（n-1）an-1．（5分）
∴．（6分）
因此，．（8分）
又a1=0，∴数列{an}的通项公式an=2（n-1）（n∈N*）．（10分）
（3）由（2）有，．于是，
=
=．（12分）
∴Tn=t1+t2+…+tn
=
=．（14分）
又，
∴数列{Tn}的上渐近值是3．（16分）