Question

已知椭圆，常数m、n∈R⁺，且m＞n．
（1）当m=25，n=21时，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于点P，与y轴交于点Q，若，求直线PQ的斜率；
（2）过原点且斜率分别为k和-k（k≥1）的两条直线与椭圆的交点为A、B、C、D（按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内），试用k表示四边形ABCD的面积S；
（3）求S的最大值．

Answer

（1）求出椭圆的左焦点，设出P、Q坐标，利用若，和P在椭圆上，求出P、Q坐标，推出直线PQ的斜率；
（2）写出直线l1：y=kx，l2：y=-kx与椭圆方程联立，求出A坐标，然后求出四边形ABCD的面积S；
（3）化简S的表达式，，利用的单调性，求出函数S的最大值．
【解析】
（1）∵m=25，n=21，∴．（2分）
设满足题意的点为P（x，y）、Q（0，t）．，
∴（-2，-t）=2（x+2，y），．（4分）
．（5分）
∴．（6分）
（2）∵过原点且斜率分别为k和-k（k≥1）的直线l1：y=kx，l2：y=-kx关于x轴和y轴对称，
∴四边形ABCD是矩形．（8分）
设点A（x，y）．
联立方程组于是x是此方程的解，故（10分）
∴．（12分）
（3）．
设，则g（k）在[1，+∞）上是单增函数．（13分）
理由：对任意两个实数k1、k2∈[1，+∞），且k1＜k2，则
==．（14分）
∵m＞n＞0，k2＞k1≥1，∴k1k2＞1，mk1k2-n＞0．又k1-k2＜0，
∴．
∴g（k）在[1，+∞）上是单增函数，于是g（k）min=g（1）=m+n．（16分）
∴．
∴．（18分）