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下面是关于三棱锥的四个命题: ①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的...

下面是关于三棱锥的四个命题:
①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.
④侧棱与底面所成的角相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
其中,真命题的编号是    .(写出所有真命题的编号)
根据正三棱锥的定义,结合二面角判断①的正误;侧棱与底面所成的角判断④的正误;找出反例否定②,找出反例对选项③否定可得正确结论. 【解析】 ①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 可推出底面中心等于是棱锥顶点在底面的射影,所以是正确的. ②显然不对,比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况,侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等,说明顶点到底面三边的距离(斜高)相等, 根据射影长的关系,可以得到顶点在底面的射影(垂足)到底面三边所在直线的距离也相等, 由于在底面所在的平面内,到底面三边所在直线的距离相等的点有4个:内心(本题的中心)1个、旁心3个, 因此不能保证三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.是正确的. 故答案为:①④
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考点分析:
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