Question

已知在x轴上有一点列：P₁（x₁，0），P₂（x₂，0），P₃（x₃，0），…，P_n（x_n，0），…，点P_n+2分有向线段所成的比为λ，其中n∈N^*，λ＞0为常数，x₁=1，x₂=2．
（1）设a_n=x_n+1-x_n，求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（λ）=，当λ变化时，求f（x）的取值范围．

Answer

（1）先利用向量的定比分点坐标公式写出xn+2与xn+1，xn之间的关系式；再由an=xn+1-xn，求出a1，再推出an和an+1的关系，说明是等比数列，然后求数列{an}的通项公式．
（2）由于xn=x1+（x2-x1）+（x2-x1）+…+（xn-xn-1）=1+a1+a2+a3+…+an-1所以|-|＜1，利用等比数列的前n和的极限公式即可求得，最后利用分离常数的方法即可求得f（x）的取值范围．
【解析】
（1）因为点Pn+2分有向线段 所成的比为λ，
所以 ，即由定比分点坐标公式得xn+2=．
∵a1=x2-x1=1，
因为an+1=xn+2-xn+1=-xn+1
=-（xn+1-xn）=-an，
∴=-，即{an}是以a1=1为首项，-为公比的等比数列．
∴an=（-）n-1．
（2）∵xn=x1+（x2-x1）+（x2-x1）+…+（xn-xn-1）=1+a1+a2+a3+…+an-1，
λ＞0，∴|-|＜1，
（12分）
∴当λ＞0时，f（λ）=（14分）