Question

已知函数f（x）=a lnx+（a-1）x²+1  是减函数，则对于任意的x₁，、x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|的充要条件是    ．

Answer

利用f（x）递减，将绝对值符号去掉，变形；通过构造函数，转化为新函数递减；等价于其导函数小于等于0恒成立，求出a的范围．
【解析】
（必要性）不妨设x1＞x2＞0
∵f（x）是减函数
∴f（x1）＜f（x2）
∴|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|即为f（x2）-f（x1）≥4x1-4x2
所以f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1
构造函数g（x）=f（x）+4x，可知g（x）单调递减
∵g（x）=alnx+（a-1）x2+4x+1
∴=≤0在（0，+∞）恒成立
即2（a-1）x2+4x+a≤0在（0，+∞）恒成立
对称轴为
当a=1时，不合题意
当解得a≤-1
（充分性）当a＜-1时，易证得对于任意的x1，、x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|
综上知，对于任意的x1，、x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|的充要条件是a≤-1
故答案为：a≤-1