Question

如图在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，M，N分别是A₁B和B₁C₁的中点．
（1）求证：BC∥平面MNB₁；
（2）当AC=AA₁时，求证：平面MNB₁⊥平面A1CB．

Answer

（1）由直三棱柱的几何特征，易得直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1，然后由线面平行的判定定理得到BC∥平面MNB1；
（2）连接AC1，由AC=AA1，得四边形ACC1A1是正方形，结合，∠ACB=90°，M，N分别是A1B和B1C1的中点．我们易得BC⊥平面ACC1A1，连接AB1，则A1B与AB1的交点即为AB1的中点M，故MN∥AC1，由线面垂直的判定定理得到MN⊥平面A1BC，再由面面垂直的判定定理得到平面MNB1⊥平面A1CB．
证明：∵BC∥B1C1，且B1C1⊂平面MNB1，BC⊄平面MNB1，
∴BC∥平面MNB1；
（2）连接AC1，由AC=AA1，得四边形ACC1A1是正方形
∴AC1⊥A1C，
直三棱柱中CC1⊥平面ABC，
∴CC1⊥BC，
又BC⊥AC
∴BC⊥平面ACC1A1，
∴BC⊥AC1．
∵A1C∩BC=C
∴AC1⊥平面A1BC
连接AB1，则A1B与AB1的交点即为AB1的中点M，
又∵N是B1C1的中点，
∴MN∥AC1，
∴MN⊥平面A1BC且MN⊂B1MN
∴平面MNB1⊥平面A1CB．