Question

已知数列{a_n}满足：a_i=a，a是非零常数，t是常数，
（1）当a-1，t=0时，求数列{a_n}的通项公式．
（2）对于给定的常数a是否存在常数t，λ使数列{a_n+λ}是等比数列．若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由已知首项等于1，t=0，代入已知的数列{an}通项公式中，得到当n为奇数时，第n项等于前一项的2倍；当n为偶数时，第n项等于第n-1项，分别根据等比数列的通项公式写出各自的通项即可；
（2）根据已知an的分段函数，分别表示出第1，2，3及4项，根据数列{an+λ}是等比数列，得到第2项与λ和的平方等于第1项与λ的和乘以第3项与λ的和，且第3项与λ和的平方等于第2项与λ的和乘以第4项与λ的和，把表示出的四项代入，化简后得到t与λ关于a的两关系式，把a看作已知数解出t和λ，然后把求出的t和λ代入数列中检验，满足题意，故存在常数t，λ使数列{an+λ}是等比数列．
【解析】
（1）由已知a1=1，a2=1，a3=2a2，
当n为奇数时，an=2an-1=2an-2=…=，
当n为偶数时an=；
（2）由已知a1=a，a2=a+t，a3=2a+2t，a4=2a+3t，
若{an+λ}成等比数列，
则有（a2+λ）2=（a1+λ）（a3+λ），（a3+λ）2=（a2+λ）（a4+λ），
化简得：a2+aλ=t2，2a2+aλ+3at=-t2，
所以t=-，λ=-，代入数列{an+λ}得到数列的各项为：，-，，-，…，
则数列{an+λ}为首项是，公比是-1的等比数列，
故存在t=-，λ=-使得{an+λ}成等比数列．