Question

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面为正方形的长方体，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，P为AD₁的中点，（1）求证：直线C₁P∥平面AB₁C；（2）求异面直线AA₁与B₁P所成角的余弦值．

Answer

（1）求证：直线C1P∥平面AB1C，取B1C中点Q，连接AQ，只需证明PC1∥AQ即可；
（2）求异面直线AA1与B1P所成角的余弦值，法一：作出异面直线所成的角，直接解三角形即可；法二：利用空间直角坐标系，求出相关向量，求数量积即可．
【解析】
（1）证明：取B1C中点Q，连接AQ，QC1，
则QC1∥AP且QC1=AP，所以四边形APC1Q是平行四边形，所以PC1∥AQ，
又AQ⊂平面AB1C，C1P⊄平面AB1C，所以直线C1P∥平面AB1C
（2）解法一：过点P作PE⊥A1D1，垂足为E，连接B1E（如图），
则PE∥AA1，∴∠B1PE是异面直线AA1与B1P所成的角．
在 Rt△AA1D1中∵∠AD1A1=60°
∴∠A1AD1=30°
∴，，
∴．
又．
∴在 Rt△B1PE中，．
∴异面异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为．

解法二：以A1为原点，A1B1所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示，
则A1（0，0，0），，B1（2，0，0），，
∴，
∴=．
∴异面异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为．