Question

已知函数f（x）=x³+x-16．
（1）求曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线方程；
（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

Answer

（1）先求出函数的导函数，再求出函数在（2，-6）处的导数即斜率，易求切线方程．
（2）设切点为（x，y），则直线l的斜率为f'（x）=3x2+1，从而求得直线l的方程，有条件直线1过原点可求解切点坐标，进而可得直线1的方程．
【解析】
（1）∵f'（x）=（x3+x-16）'=3x2+1，
∴在点（2，-6）处的切线的斜率k=f′（2）=3×22+1=13，
∴切线的方程为y=13x-32．
（2）设切点为（x，y），则直线l的斜率为f'（x）=3x2+1，
∴直线l的方程为y=（3x2+1）（x-x）+x3+x-16．
又∵直线l过点（0，0），∴0=（3x2+1）（-x）+x3+x-16，
整理，得x3=-8，∴x=-2，∴y=（-2）3+（-2）-16=-26，直线l的斜率k=3×（-2）2+1=13，
∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为（-2，-26）．