Question

给定椭圆C：（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”． 已知椭圆C的两个焦点分别是，椭圆C上一动点M₁满足．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程
（Ⅱ）试探究y轴上是否存在点P（0，m）（m＜0），使得过点P作直线l与椭圆C只有一个交点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题意得：得，半焦距，所以椭圆C的方程为，“伴随圆”的方程为x2+y2=4．
（Ⅱ）假设y轴上存在点P（0，m）（m＜0），则设过点P且与椭圆有一个交点的直线l为：y=kx+m，则 ，整理得（1+3k2）x2+6kmx+（3m2-3）=0，所以△=（6km）2-4（1+3k2）（3m2-3）=0，解3k2+1=m2，由此能够导出y轴上存在点P（0，-2）．
【解析】
（Ⅰ）由题意得：得，半焦距（2分）
则b=1椭圆C的方程为（3分）
“伴随圆”的方程为x2+y2=4（5分）
（Ⅱ）假设y轴上存在点P（0，m）（m＜0），
则设过点P且与椭圆有一个交点的直线l为：y=kx+m，（1分）
则 整理得（1+3k2）x2+6kmx+（3m2-3）=0（3分）
所以△=（6km）2-4（1+3k2）（3m2-3）=0，解3k2+1=m2①（5分）
又因为直线l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，
则有化简得m2=2（k2+1）②（7分）
联立①②解得，k2=1，m2=4，所以k=±1，m=-2（∵m＜0）
所以y轴上存在点P（0，-2）（9分）