Question

已知函数f（x）=（ax-1）e^x，a∈R
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值．
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）把a=1代入，对函数求导，分解结不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究函数f（x），f′（x）的变化情况，进而研究函数的单调区间，由单调性求解函数的最值
（2）函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数⇔f′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，分类a，转化为求函数的最值．
（法一）构造函数g（x）=ax+a-1，借助于一次函数的性质讨论．
（法二）转化a恒成立，进而求在（0，1）上的最值（或值域）
【解析】
（I）因为f'（x）=（ax+a-1）ex，
所以当a=1时，f'（x）=xex，
令f'（x）=0，则x=0，
所以f（x），f'（x）的变化情况如下表：

所以x=0时，f（x）取得极小值f（0）=-1．
（II）因为f'（x）=（ax+a-1）ex，函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数，
所以f'（x）≥0对x∈（0，1）恒成立．
又ex＞0，所以只要ax+a-1≥0对x∈（0，1）恒成立，
解法一：设g（x）=ax+a-1，则要使ax+a-1≥0对x∈（0，1）恒成立，
只要成立，
即，解得a≥1．
解法二：要使ax+a-1≥0对x∈（0，1）恒成立，
因为x＞0，所以对x∈（0，1）恒成立，
因为函数在（0，1）上单调递减，
所以只要．