Question

已知函数f（x）=x-（x＞1）
（1）若函数在f（x）在定义域上是增函数，求实数p的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＜2

Answer

（1）函数在f（x）在定义域上是增函数，可知其导数为正在（1，+∞）上恒成立，由此不等式求解参数的范围即可．
（2）解关于x的不等式f（x）＜2即求解x-＜2在（1，+∞）上的解集，由此可以将不等式变为二次不等式求解问题，x-＜2在（1，+∞）上可变为x2-2x-p＜0，由于此不等式中含有参数，故应对参数范围进行讨论，分类解不等式．
【解析】
（1）由已知函数在f（x）在定义域上是增函数
故f′（x）=1+＞0在（1，+∞）恒成立，
即 p＞-x2在（1，+∞）恒成立，
由于-x2在（1，+∞）上的最大值小于-1，故可得p≥-1
即实数p的取值范围是[-1，+∞）
（2）由x-＜2及x＞1得x2-2x-p＜0
①当p≤-1时，得△=4+4p≤0，此时x2-2x-p＜0无解；
②当p＞-1时，可解得1-＜x＜1+且x＞1
所以得1＜x＜1+