Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2，n∈N^*），a₁=．
（Ⅰ）求证：{}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若b_n=2（1-n）a_n（n≥2，n∈N^*），求证：b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

Answer

（Ⅰ）an+2Sn•Sn-1=0整理得判断出{}是等差数列．
（Ⅱ）根据等差数列的通项公式求得，则Sn可得．进而根据an=Sn-Sn-1求得n≥2时数列的通项公式，进而求得a1，则数列的通项公式可得．
（Ⅲ）把（Ⅱ）中的an代入bn=2（1-n）an中求得，进而利用裂项法求得答案．
【解析】
（Ⅰ）由an+2Sn•Sn-1=0（n≥2，n∈N*），得Sn-Sn-1+2Sn•Sn-1=0，
所以，故{}是等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
所以．
所以
（Ⅲ）
所以
b22+b32++bn2．