Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（Ⅰ）求证：函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）求证：f（nx）=nf（x），n∈N^*
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[-n，n]（n∈N^*）上的最大值和最小值．

Answer

（I）根据已知中对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，易得f（0）=0，令y=-x，结合函数奇偶性的定义，即可得到结论；
（II）利用数学归纳法，对n的取值进行讨论，即可得到f（nx）=nf（x），n∈N*
（III）根据（I）的结论，我们易得函数f（x）在区间[-n，n]（n∈N*）上的最大值为f（-n），最小值为f（n），结合（II）的结论及f（1）=-2，我们易求出答案．
（Ⅰ）证明：∵对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），①
令x=y=0得，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0）（2分）
∴f（0）=0
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，（1分）
即f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数（3分）
（Ⅱ）证明：（1）当n=1时等式显然成立
（2）假设当n=k（k∈N*）时等式成立，即f（kx）=kf（x），，（4分）
则当n=k+1时有
f（（k+1）x）=f（kx+x），由①得f（kx+x）=f（kx）+f（x）（6分）
∵f（kx）=kf（x）
∴f（kx+x）=kf（x）+f（x）=（k+1）f（x）
∴当n=k+1时，等式成立．
综（1）、（2）知对任意的n∈N*，f（nx）=nf（x）成立．（8分）
（Ⅲ）【解析】
设x1，x2∈R，x1＜x2，因函数f（x）为奇函数，结合①得
f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）（9分）
∵x2-x1＞0
又∵当x＞0时，f（x）＜0
∴f（x2-x1）＜0，
∴f（x2）-f（x1）＜0，
∴函数f（x）在R上单调递减（12分）
∴f（x）的最大值为f（-n），最小值为f（n）
由（II）得f（n）=nf（1）
又∵f（1）=-2，f（n）=nf（1），
∴f（n）=-2n，f（-n）=-f（n）=2n
∴f（x）的最小值为-2n，最大值为2n