Question

设椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A（0，a），B（-b，0），原点O到直线AB的距离为，P是椭圆的右顶点，直线l：x=my-n与椭圆M相交于C，D两点，且⊥．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求证：直线l的横截距n为定值．

Answer

（Ⅰ）由e2===1-=，得a=b，由点A（0，a），B（-b，0）知直线AB的方程为+=1，再由点O到直线AB的距离=b=，知b=3，由此能够得到椭圆M的方程．
（Ⅱ）P（3，0），设C（x1，y1），（x2，y2），将x=my+n代入+=1，得（16m2+9）y2+32mny+16n2-144=0，则y1+y2=，y1y2=．由•=0，知（x1-3）•（x2-3）+y1y2=0，由x1=my1+nn，x2=my2+nn，知（my1+n-3）•（my2+n-3）+y1y2=0，由此能够证明直线l的横截距n为定值．
【解析】
（Ⅰ）由e2===1-=，得a=b （2分）
由点A（0，a），B（-b，0）知直线AB的方程为+=1，即lAB：4x-3y+4b=0
又原点O到直线AB的距离=b=，∴b=3，（4分）
∴b2=9，a2=16
从而椭圆M的方程为：+=1．（5分）
（Ⅱ）易知P（3，0），设C（x1，y1），（x2，y2），将x=my+n代入+=1化简整理得
（16m2+9）y2+32mny+16n2-144=0
则y1+y2=，y1y2=．（8分）
而•=0⇒（x1-3，y1）•（x2-3，y2）=0即（x1-3）•（x2-3）+y1y2=0
又x1=my1+nn，x2=my2+nn
∴（my1+n-3）•（my2+n-3）+y1y2=0，
整理得（m2+1）y1y2+m（n-3）（y1+y2）+（n-3）2=0 （10分）
即（m2+1）×+m（n-3）×+（n-3）2=0
易知n≠3，∴16（m2+1）（n+3）-32m2n+（16m2+9）（n-3）=0
展开得25n+21=0⇒n=-
∴直线l的横截距n为定值 （12分）