Question

对于数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N*）；一般地，规定{△^ka_n}为数列{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n，且k∈N*，k≥2．
（Ⅰ）已知数列{a_n}的通项公式a_n=n²-n（n∈N*），试证明{△a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足△²a_n-a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N*），求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记b_n=，求证：b₁++…+＜．

Answer

（Ⅰ）根据题意：△an=an+1-an=（n+1）2-（n+1）-n2+n=5n-4，所以△an+1-△an=6．由此能够证明{△an}是等差数列．
（Ⅱ）由△2an-△an+1+an=-2n，知△an+1-△an-△an+1+an=-2n，所以△an-an=2n．由此入手能够求出数列{an}的通项公式．
（Ⅲ）由an=n•2n-1，bn===，当n≥2，n∈N*时，==（-），由此入手，能够证明b1++…+＜．
【解析】
（Ⅰ）根据题意：△an=an+1-an=（n+1）2-（n+1）-n2+n=5n-4 （2分）
∴△an+1-△an=6．
∴数列{Dan}是首项为1，公差为5的等差数列．（3分）
（Ⅱ）由△2an-△an+1+an=-2n，∴△an+1-△an-△an+1+an=-2n，⇒△an-an=2n．（5分）
而△an=an+1-an，∴an+1-2an=2n，∴-=，（6分）
∴数列{}构成以为首项，为公差的等差数列，
即=⇒an=n•2n-1．（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知an=n•2n-1，
∴bn===（9分）
∴当n≥2，n∈N*时==（-），
∴b1++…+=1+[（-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）]
=1+（+--）＜1+（+）=．
当n=1时，b1=1＜，显然成立．
∴b1++…+＜．（12分）