Question

已知函数f（x）=（x-a²）e^x+e^-x-ax（x∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），f′（0）=a．
（Ⅰ）求f′（ln2）；
（Ⅱ）证明：f（x）在（-∞，0]上为减函数，在[0，+∞）上为增函数；
（Ⅲ）记h（x）=f′（x）-f（x），求证：h（1）+h（2）+…+h（n）＜+1（n∈N*）．

Answer

（Ⅰ）求f′（x），根据f′（0）=-a，求出a的值，即可得到f′（ln2）的值．
（Ⅱ） 根据f′（x）=（1+x）ex-e-x，判断f′（x）在（-∞，0]上小于0，f′（x）在[0，+∞）上大于0，
从而得到f（x）在（-∞，0]上为减函数，在[0，+∞）上为增函数．
（Ⅲ） 化简h（x）的解析式，可得h（1）+h（2）+…+h（n）的解析式，拆项利用等比数列的求和公式运算化简，
再进行放大，可得它小于+1，再证 +1≥+1=+1＞+1，从而得到不等式成立．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=（x-a2）ex+e-x-ax，∴f′（x）=ex+（x-a2）ex-e-x-a，
∴f′（0）=e+（x-a2）e-e-0-a=-a2-a=-a，∴a2=0，∴a=0，故f′（x）=ex+xex-e-x，
∴f′（ln2）=eln2+2•eln2-e-ln2 =2+2ln2-=+ln4．
（Ⅱ）由（Ⅰ） f（x）=xex+e-x，f′（x）=（1+x）ex-e-x，
当x≤-1时，f′（x）＜0；
当x＞-1时，f″（x）=（2+x）ex+e-x＞0，f′（x）在（-1，+∞）上递增，而f′（0）=0，
则当-1＜x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0．
综上，f（x）在（-∞，0]上为减函数，在[0，+∞）上为增函数；
（Ⅲ） h（x）=f′（x）-f（x）=（1+x）ex-e-x-xex-e-x =ex-2e-x，
h（1）+h（2）+…+h（n）=（e-2e-1）+（e2-2e-2）+（e3-2e-3）+…+（en-2e-n）
=（e+e2+…+en）-2（e-1+e-2+…+e-n）=-2= 
=＜＜+＜+1．
而+1≥+1=+1＞+1．
所以，h（1）+h（2）++h（n）＜+1（n∈N*）．