Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，，AB=2CD=8．
（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？

Answer

（1）欲证平面MBD⊥平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD内一直线与平面PAD垂直，而根据题意可得BD⊥平面PAD；
（2）欲证PA∥平面MBD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面MBD内一直线平行，根据比例关系可知PA∥MN，而MN⊂平面MBD，满足定理条件．
证明：（1）在△ABD中，
∵AD=4，，AB=8，∴AD2+BD2=AB2．
∴AD⊥BD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD．又BD⊂平面MBD，
∴平面MBD⊥平面PAD．
（2）当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA∥平面MBD．
证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN．
∵AB∥DC，所以四边形ABCD是梯形．
∵AB=2CD，∴CN：NA=1：2．
又∵CM：MP=1：2，
∴CN：NA=CM：MP，∴PA∥MN．
∵MN⊂平面MBD，∴PA∥平面MBD．